2 Pengertian Persamaan Diferensial

 Pengertian Persamaan Differensial

Persamaan differensial adalah persamaan matematika untuk suatu fungsi

tak diketahui dari satu atau beberapa peubah yang menghubungkan nilai dari fungsi

tersebut dengan turunannya sendiri pada berbagai derajat turunan (Ledder, 2005,

p16). Persamaan differensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi:

apabila suatu relasi deterministik melibatkan beberapa besaran yang berubah secara

kontinu (dimodelkan dengan fungsi) dan laju perubahan besaran itu dalam ruang

atau dalam waktu (dimodelkan dengan turunannya) diketahui atau diandaikan.

Dalam mekanika klasik, persamaan differensial dipakai dalam penggambaran gerak

tubuh dalam kaitannya dengan posisi dan kecepatannya berdasarkan perubahan

waktu.

Suatu persamaan differensial disebut persamaan differensial biasa, jika

semua turunannya berkaitan dengan satu peubah saja, dan disebut persamaan

differensial parsial, jika turunannya berkaitan dengan dua atau lebih peubah. Orde

dari persamaan differensial adalah derajat tertinggi dari turunan dalam persamaan

yang bersangkutan. Himpunan dari n persamaan differensial orde-satu dengan n

menyatakan banyaknya persamaan yang tidak diketahui disebut sistem persamaan

differensial orde-satu; n adalah dimensi dari sistem yang bersangkutan.

pengertian lain yang perlu diketahui adalah persamaan differensial otonom. Suatu

persamaan differensial biasa atau suatu sistem persamaan differensial biasa disebut

otonom jika peubah bebasnya tidak tampak secara eksplisit dalam persamaannya

(Ledder, 2005, p16).

Secara matematis, persamaan differensial dipelajari dari beberapa sudut

pandang yang berbeda, sebagian besar dari sudut pandang yang beragam itu

berminat dengan hasil dari persamaan differensial yang dipelajari, yaitu serangkaian

fungsi yang memenuhi persamaan differensial yang diberikan. Hanya persamaan

differensial yang paling sederhana memungkinkan penyelesaian berdasarkan rumus

eksplisit; akan tetapi, beberapa sifat penyelesaian dari suatu persamaan differensial

yang diberikan dapat ditentukan tanpa menemukan bentuknya yang tepat atau

eksak. Jika suatu rumus yang dapat ditentukan penyelesaiannya tidak tersedia,

hampiran terhadap penyelesaiannya dapat ditentukan secara numerik dengan

bantuan komputer.

Metode Newton-Raphson

Salah satu metode penghitungan secara numerik yang akan dipakai dalam

program aplikasi yang dirancang yaitu metode Newton-Raphson. Metode Newton-

Raphson (umumnya disebut dengan metode Newton), yang mendapat nama dari

Isaac Newton dan Joseph Raphson, merupakan metode penyelesaian persamaan

non-linear yang sering digunakan di antara metode lainnnya, karena metode ini

memberikan konvergensi yang lebih cepat dibandingkan dengan metode lainnya.

Metode ini merupakan metode yang paling dikenal untuk mencari hampiran

terhadap akar fungsi riil. Metode Newton ini dapat dijabarkan dengan persamaan

sebagai berikut :

, dimana :

xi+1 = nilai x pada iterasi ke i + 1

xi = nilai x pada iterasi ke i

fi = nilai fungsi F(x)

f’i = nilai fungsi turunan pertama dari F(x)

Cara kerja metode newton ini adalah dengan menggunakan garis

singgung untuk menentukan nilai x selanjutnya atau xi+1 , garis singgung ini

tentunya menyinggung grafik persamaan fungsi F(x) yang ada.

Misalkan kita memiliki sebuah fungsi F(x), dengan akar persamaan

seperti yang ditunjukkan pada gambar diatas. Karena metode ini merupakan

metode Terbuka, maka tetap diperlukan nilai tebakan awal untuk Xo. Jika nilai

awal tebakan adalah x0, maka nilai fungsinya adalah F0, sebuah garis singgung (

disebut juga garis tangen atau gradien) dibuat pada titik ( x0,F0 ) yang diteruskan

memotong sumbu x pada x1, dengan menggunakan nilai x1 ini dihitung nilai

fungsi F(x) yaitu pada F1, garis singgung berikutnya dibuat pada titik (x1,F1)

memotong sumbu x pada x2, begitu seterusnya ( secara berurutan , sequence )

hingga mendekati akar persamaan yang diinginkan. Melalui persamaan garis

singgung ( tangen atau gradien ) kita dapat menurunkan metode newton ini :

Lihat garis singgung 1, garis tersebut dapat dibuat dari dua titik yaitu ( x0,F0 )

dan (x1,0 ),